第一章 引论-误差分析

基本要求

1）误差是用来衡量数值方法好与坏的重要标志，需对每个方法进行误差分析，并结合实际问题理解误差概念的实际意义。 2）掌握基本概念及其内在联系，能够处理常见运算结果并解决实际问题。 > 本章主要论述误差的概念及其简单理论 —

一、基本概念

1. 绝对误差 定义：

设 $x^*$ 是准确值 $x$ 的近似值，则绝对误差为 $e^* = x^* - x$ 其中 $|e^*|$ 的上界 $\varepsilon^*$ 称为误差限，满足 $|e^*| \leq \varepsilon^*$。

2. 相对误差 定义：

相对误差为绝对误差与准确值的比值，数学表达式为 $\delta^* = \frac{e^*}{x} \quad (\text{若 } x \neq 0)$ 实际计算中通常以近似值 $x^*$ 代替分母，即 $\delta^* \approx \frac{e^*}{x^*}.$ — 注：相对误差一般用百分比表示

• 公式中的 $x^*$ 为近似值，$x$ 为准确值； - 误差限 $\varepsilon^*$ 用于量化近似值的精度； - 相对误差可消除量纲影响，更适用于不同量级数据的误差比较。

3、有效数字 定义：

有效数字是近似值的一种表示法，其核心特征为： - 既能表示数值大小，又能反映精度级别 - 当近似值$x^{*}$满足误差限为某数位的半个单位时，该位到$x^{*}$第一个非零数字的位数即为有效位数$n$ 数学表示： $x^{*}=\pm10^{m}\times(a_{1}+a_{2}\times10^{-1}+\cdots +a_{n}\times10^{-(n - 1)})$ 符号说明： - $m$：整数，决定数值的数量级 - $a_{1}$：首位非零数字（$1 \leq a_{1} \leq 9$） - $a_{i}$：后续数字（$0 \leq a_{i} \leq 9,\ i\geq2$） - 误差限约束： $|x - x^{*}|\leq\frac{1}{2}\times10^{m - n + 1}$ 注： 1. 有效位数$n$与误差成反比：$n$越大，$10^{m - n + 1}$指数越小，误差限$\frac{1}{2}\times10^{m - n + 1}$越小 2. 表示形式特点：通过规范化的科学计数法分离数值量级（$10^m$）与有效数字序列（$a_1$到$a_n$） 3. 首个非零数字的定位规则：确保有效数字的表示具有唯一性

数值运算的误差分析

一、误差分析的重要性

数值运算的误差分析是工程与科学计算中的核心问题。由于复杂问题往往涉及千万次运算，逐步骤误差分析不切实际（误差累积可能正负抵消）。现代方法如概率统计法、事后误差估计法等仅在特定问题中有效，需结合定性分析（如数值稳定性）进行综合评估。 —

二、算法的数值稳定性

1. 定义 数值稳定算法需满足：

输入数据存在误差时，计算过程中舍入误差可控 - 某步产生绝对误差 $\delta$ 后，后续计算导致的误差绝对值始终 $\leq \delta$

三、数值计算原则

1. 运算优化策略

核心目标：减少误差累积与有效数字损失

• 避免相近数相减 相对误差公式：$|e_r(x_1 - x_2)| \leq \left|\frac{x_1^*}{|x_1^* - x_2^*|}\right||e_r(x_1)|+\left|\frac{x_2^*}{|x_1^* - x_2^*|}\right||e_r(x_2)|$
• 当 $x \approx y$ 时，分母趋近于零导致相对误差剧增（例：$1.0001 - 1.0000$ 仅保留1位有效数字）。
• 规避病态除法 除法误差传播公式：\begin{align*} \epsilon\left(\frac{x_1}{x_2}\right) &\approx \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)^* \epsilon(x_1) + \left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\right)^* \epsilon(x_2) \\ &= \frac{1}{x_2^*} \epsilon(x_1) - \frac{x_1^*}{(x_2^*)^2} \epsilon(x_2) \\ &= \frac{x_1^*}{x_2^*} \left( \epsilon_r^*(x_1) - \epsilon_r^*(x_2) \right) \end{align*} 当 $|y| \ll |x|$ 时，舍入误差被显著放大。
• 防止大数"吞噬"小数
• 浮点运算中优先累加小数量级数据，避免类似 $10^{10} + 0.1 - 10^{10} = 0$ 的精度丢失。

• 2. 计算效率提升

• 关键方法：

1. 代数变形（例：$\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$）
2. 递推公式优化（反向递推减少正项累积误差）
3. 并行分块计算（降低单次运算量级）

二、基本定理和公式

定理1

设近似数 $x^{*}$ 表示为： $x^{*} = \pm10^{m} \times \left( a_1 + a_2 \times 10^{-1} + \cdots + a_n \times 10^{-(n - 1)} \right)$ 1. 有效数字判据 若 $x^{*}$ 具有 $n$ 位有效数字，则其相对误差限满足： $\varepsilon_{r}^{*} \leq \frac{1}{2a_1} \times 10^{-n + 1}$ 2. 误差限判据 若相对误差限满足： $\varepsilon_{r}^{*} \leq \frac{1}{2(a_1 + 1)} \times 10^{-n + 1}$ 则 $x^{*}$ 至少具有 $n$ 位有效数字. — ### 多元函数误差传播 设 $A = f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，若 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的近似值为 $x_1^{*}, x_2^{*}, \cdots, x_n^{*}$，则 $A$ 的近似值为： $A^{*} = f(x_1^{*}, x_2^{*}, \cdots, x_n^{*})$ 其误差估算公式为：

1. 绝对误差 $e(A^{*}) \approx \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial x_k} \right) \cdot e_k^{*}$ 2. 误差限 $\varepsilon(A^{*}) \approx \sum_{k=1}^{n} \left| \frac{\partial f}{\partial x_k} \right| \cdot \varepsilon_k^{*}$ — 符号说明： - $a_1$：首位有效数字（$1 \leq a_1 \leq 9$） - $a_2, \cdots, a_n$：次位有效数字（$0 \leq a_i \leq 9$） - $m$：数值的十进制数量级指数 - $\varepsilon_r^{*}$：相对误差限（$\varepsilon_r^{*} = |e^{*}/x^{*}|$） - $e_k^{*}$：变量 $x_k$ 的绝对误差

一些误差估计

$\epsilon(x_1^* \pm x_2^*) \leq \epsilon(x_1^*)+\epsilon(x_2^*)$